เราขอให้นักคณิตศาสตร์หลายคนบอกตัวเลขที่ไม่ใช่ pi ที่พวกเขาชื่นชอบ นี่คือคำตอบบางส่วนของพวกเขา
ที่ Live Science เรารักตัวเลข และในวัน Pi — 14 มีนาคมหรือ 3/14 — เราชอบที่จะเฉลิมฉลองจำนวนอตรรกยะที่ โด่งดังที่สุดในโลก piซึ่ง 10 หลักแรกคือ 3.141592653
เนื่องจากอัตราส่วนของเส้นรอบวงของวงกลมต่อเส้นผ่านศูนย์กลางของมัน pi ไม่ได้เป็นเพียงอตรรกยะ หมายความว่าไม่สามารถเขียนเป็นเศษส่วนธรรมดาได้ นอกจากนี้ยังเป็นเลิศด้วย ซึ่งหมายความว่าไม่ใช่รากหรือคำตอบของสมการพหุนามใดๆ เช่น x+2X^2+3 = 0
Pi อาจเป็นหนึ่งในตัวเลขที่รู้จักกันดีที่สุด แต่สำหรับคนที่คิดเกี่ยวกับตัวเลขตลอดทั้งวัน ค่าคงที่ของวงกลมอาจดูน่าเบื่อ เราขอให้นักคณิตศาสตร์หลายคนบอกตัวเลขที่ไม่ใช่ pi ที่พวกเขาชื่นชอบ นี่คือคำตอบบางส่วนของพวกเขา
ใช่
คุณรู้ไหมว่าอะไรที่เจ๋งกว่าหนึ่งพาย? … สองพาย. กล่าวอีกนัยหนึ่งคือ สองเท่า pi หรือตัวเลข “tau” ซึ่งมีค่าประมาณ 6.28
“การใช้ tau ทำให้ทุกสูตรมีความชัดเจนและมีเหตุผลมากกว่าการใช้ pi” John Baez นักคณิตศาสตร์จากมหาวิทยาลัยแคลิฟอร์เนีย ริเวอร์ไซด์ กล่าว “การมุ่งเน้นที่ pi มากกว่า 2pi เป็นอุบัติเหตุครั้งประวัติศาสตร์”
เอกภาพคือสิ่งที่ปรากฏในสูตรที่สำคัญที่สุด เขากล่าว
ในขณะที่ pi เชื่อมโยงเส้นรอบวงของวงกลมกับเส้นผ่านศูนย์กลางของมัน tau เชื่อมโยงเส้นรอบวงของวงกลมกับรัศมีของมัน และนักคณิตศาสตร์หลายคนโต้แย้งว่าความสัมพันธ์นี้สำคัญกว่ามาก เอกภาพยังทำให้สมการที่ดูเหมือนไม่เกี่ยวข้องมีความสมมาตรอย่างมาก เช่น สมการสำหรับพื้นที่วงกลมและสมการที่อธิบายพลังงานจลน์และพลังงานยืดหยุ่น
แต่จะไม่ลืมเอกภาพในวันปิย! ตามธรรมเนียม สถาบันเทคโนโลยีแมสซาชูเซตส์จะส่งคำตัดสินในวันนี้เวลา 18:28 น. อีกไม่กี่เดือนจากนี้ วันที่ 28 มิถุนายน จะเป็นวันเอก
ฐานไม้ธรรมชาติ
ฐานของลอการิทึมธรรมชาติที่เขียนเป็น “e” สำหรับชื่อของมัน นักคณิตศาสตร์ชาวสวิส Leonhard Euler ในศตวรรษที่ 18 อาจไม่โด่งดังเท่า pi แต่ก็มีวันหยุดเป็นของตัวเองด้วย ดังนั้น ในขณะที่ 3.14 มีการเฉลิมฉลองในวันที่ 14 มีนาคม ฐานไม้ธรรมชาติ — จำนวนอตรรกยะที่ขึ้นต้นด้วย 2.718 — จะถูกแปลงเป็นสิงโตในวันที่ 7 กุมภาพันธ์
ฐานของลอการิทึมธรรมชาติมักใช้ในสมการ(เปิดในแท็บใหม่)ที่เกี่ยวข้องกับลอการิทึม การเพิ่มขึ้นแบบเลขชี้กำลังและจำนวนเชิงซ้อน
“[มัน] มีคำจำกัดความที่ยอดเยี่ยมว่าเป็นตัวเลขหนึ่งที่ฟังก์ชันเลขชี้กำลัง y = e^x มีความชันเท่ากับค่าของมันทุกจุด” Keith Devlin ผู้อำนวยการโครงการเผยแพร่ความรู้ด้านคณิตศาสตร์ของมหาวิทยาลัยสแตนฟอร์ดในบัณฑิตวิทยาลัย ของการศึกษาบอกวิทยาศาสตร์สด กล่าวอีกนัยหนึ่ง ถ้าค่าของฟังก์ชันคือ 7.5 ที่จุดหนึ่ง ความชันหรืออนุพันธ์ของฟังก์ชันคือ 7.5 ที่จุดนั้นด้วย Devlin กล่าวว่า”เหมือนกับ pi ที่ปรากฏขึ้นตลอดเวลาในวิชาคณิตศาสตร์ฟิสิกส์ และวิศวกรรมศาสตร์
จำนวนจินตภาพ I
ถอด “p” ออกจาก “pi” แล้วได้อะไร? ถูกต้อง หมายเลข i ไม่ นั่นไม่ใช่วิธีการทำงานจริงๆ แต่ฉันเป็นตัวเลขที่เจ๋งมาก มันคือสแควร์รูทของ -1 ซึ่งหมายความว่ามันเป็นตัวแบ่งกฎ เนื่องจากคุณไม่ควรหารากที่สองของจำนวนลบ
“ถึงกระนั้น หากเราฝ่าฝืนกฎนั้น เราจะประดิษฐ์จำนวนจินตภาพและจำนวนเชิงซ้อนที่มีทั้งความสวยงามและมีประโยชน์” ยูจีเนีย เฉิง นักคณิตศาสตร์จาก School of the Art Institute of Chicago กล่าวกับ WordsSideKick.com อีเมล์. (จำนวนเชิงซ้อนสามารถแสดงเป็นผลรวมของทั้งส่วนจริงและส่วนจินตภาพได้)
จำนวนจินตภาพ i เป็นจำนวนที่แปลกมากเพราะ -1 มีสองรากที่สอง: i และ -i เฉิงกล่าว “แต่เราไม่สามารถบอกได้ว่าอันไหนเป็นอันไหน!” นักคณิตศาสตร์ต้องเลือกรากที่สองหนึ่งอันแล้วเรียกมันว่า i และอีกอันหนึ่ง -i
“มันแปลกและวิเศษมาก” เฉิงกล่าว
ฉันต่อพลังของฉัน
เชื่อหรือไม่ มีวิธีทำให้ฉันรู้สึกแปลกมากขึ้น ตัวอย่างเช่น คุณสามารถยก i ยกกำลัง i ได้ กล่าวคือ นำสแควร์รูทของ -1 ยกกำลังสแควร์รูทของกำลัง -1
David Richeson ศาสตราจารย์วิชาคณิตศาสตร์ที่วิทยาลัย Dickinson ในรัฐเพนซิลเวเนีย และผู้แต่งหนังสือ Tales of Impossibility: The 2,000-Yearกล่าวว่า “เมื่อมองแวบหนึ่ง ดูเหมือนว่าจำนวนจินตภาพมากที่สุดเท่าที่จะเป็นไปได้ ซึ่งเป็นจำนวนจินตภาพยกกำลังจินตภาพภารกิจเพื่อแก้ปัญหาทางคณิตศาสตร์ของสมัยโบราณ(เปิดในแท็บใหม่)” (สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยพรินซ์ตัน, 2019) กล่าวกับ WordsSideKick.com “แต่ในความเป็นจริง ตามที่ Leonhard Euler เขียนในจดหมายฉบับ 1746 มันเป็นตัวเลขจริง!”
การหาค่าของ i ยกกำลัง i เกี่ยวข้องกับการจัดเรียงเอกลักษณ์ของออยเลอร์ซึ่งเป็นสูตรที่เกี่ยวข้องกับจำนวนอตรรกยะ e, จำนวนจินตภาพ i และไซน์และโคไซน์ของมุมที่กำหนด เมื่อคุณแก้สูตรสำหรับมุม 90 องศา (ซึ่งสามารถแสดงเป็น pi ส่วน 2) ได้ คุณสามารถลดสมการให้ง่ายขึ้นเพื่อแสดงว่า i กำลังยกกำลัง i เท่ากับ e ยกกำลังลบ pi ส่วน 2โฆษณา
ฟังดูสับสน ( นี่คือการคำนวณทั้งหมด(เปิดในแท็บใหม่)ถ้าคุณกล้าอ่าน) แต่ผลลัพธ์ก็เท่ากับ 0.207 ซึ่งเป็นจำนวนจริงมาก อย่างน้อยในกรณีของมุม 90 องศา
“ดังที่ออยเลอร์ชี้ให้เห็น พลัง i ต่อ i ไม่มีค่าใดค่าหนึ่ง” ริชเชสันกล่าว แต่ใช้ค่า “มากมายมหาศาล” ขึ้นอยู่กับมุมที่คุณกำลังหา (ด้วยเหตุนี้ เราจึงไม่น่าจะเฉลิมฉลอง “i to the power of i day”)
เลขเฉพาะของเบลเฟกอร์
จำนวนเฉพาะของ Belphegor เป็นจำนวนเฉพาะพาลินโดรมที่มี 666 ซ่อนอยู่ระหว่าง 13 ศูนย์และ 1 ในแต่ละด้าน ตัวเลขที่เป็นลางร้ายสามารถย่อเป็น 1 0(13) 666 0(13) 1 โดยที่ (13) หมายถึงจำนวนศูนย์ระหว่าง 1 และ 666
แม้ว่าเขาจะไม่ได้ “ค้นพบ” ตัวเลขดังกล่าว แต่ Cliff Pickover นักวิทยาศาสตร์และผู้เขียนได้สร้างตัวเลขที่ดูน่ากลัวนี้ให้โด่งดังเมื่อเขาตั้งชื่อตาม Belphegor (หรือ Beelphegor) หนึ่งในเจ็ดเจ้าชายอสูรแห่งนรกในพระคัมภีร์
เห็นได้ชัดว่าตัวเลขนั้นมีสัญลักษณ์ปีศาจซึ่งดูเหมือนสัญลักษณ์กลับหัวสำหรับ pi ตามเว็บไซต์ของ Pickover(เปิดในแท็บใหม่)สัญลักษณ์นี้ได้มาจากสัญลักษณ์ในต้นฉบับ Voynich ลึกลับ ซึ่งเป็นการรวบรวมภาพประกอบและข้อความในช่วงต้นศตวรรษที่ 15 ที่ดูเหมือนไม่มีใครเข้าใจ
2^{ALEPH_0}
นักคณิตศาสตร์ของฮาร์วาร์ด W. Hugh Woodin ได้อุทิศเวลาหลายปีในการวิจัยเรื่องจำนวนอนันต์ จึงไม่แปลกใจเลยที่จำนวนที่เขาโปรดปรานเป็นจำนวนอนันต์: 2^{aleph_0} หรือ 2 ยกกำลังของ aleph-naught หรือที่เรียกว่า aleph-null ตัวเลข Aleph ใช้เพื่ออธิบายขนาดของเซตอนันต์ โดยที่เซตคือคอลเล็กชันของอ็อบเจกต์ที่แตกต่างกันในวิชาคณิตศาสตร์ (ตัวอย่างเช่น ตัวเลข 2, 4 และ 6 สามารถรวมกันเป็นชุดขนาด 3)
ส่วนสาเหตุที่ Woodin เลือกตัวเลขนั้น เขากล่าวว่า “โดยตระหนักว่า 2^{aleph_0} ไม่ใช่ \aleph_0 (กล่าวคือทฤษฎีบทของคันทอร์(เปิดในแท็บใหม่)) คือการตระหนักว่ามีขนาดอนันต์ต่างกัน นั่นทำให้แนวคิดของ 2^{\aleph_0} ค่อนข้างพิเศษ”
กล่าวอีกนัยหนึ่ง มีบางสิ่งที่ใหญ่กว่าเสมอ: หมายเลขคาร์ดินัลอนันต์นั้นไม่มีที่สิ้นสุด ดังนั้นจึงไม่มีสิ่งที่เรียกว่า “จำนวนคาร์ดินัลที่ใหญ่ที่สุด”
ค่าคงที่ของ APÉRY
นักคณิตศาสตร์ของฮาร์วาร์ด Oliver Knill บอกกับ WordsSideKick.com ตัวเลขที่เขาโปรดปรานคือค่าคงที่ของ Apéry (ซีตา (3)) “เพราะยังมีปริศนาบางอย่างที่เกี่ยวข้องอยู่” ในปี 1979 นักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศส Roger Apéry ได้พิสูจน์ว่าค่าที่จะเรียกว่าค่าคงที่ของ Apéry เป็นจำนวนอตรรกยะ (เริ่มต้นด้วย 1.220569 และดำเนินต่อไปอย่างไม่สิ้นสุด) ค่าคงที่ยังเขียนเป็น zeta(3) โดยที่ zeta(3) คือฟังก์ชัน Riemann zeta เมื่อคุณเสียบหมายเลข 3
หนึ่งในปัญหาที่โดดเด่นที่สุดในวิชาคณิตศาสตร์ สมมติฐานของรีมันน์ คาดการณ์ว่าฟังก์ชันซีตาของรีมันน์จะเท่ากับศูนย์เมื่อใด และหากได้รับการพิสูจน์แล้ว จะช่วยให้นักคณิตศาสตร์สามารถคาดการณ์ได้ดีขึ้นว่ามีการแจกแจงจำนวนเฉพาะอย่างไร
จากสมมติฐานของรีมันน์ David Hilbert นักคณิตศาสตร์ที่มีชื่อเสียงในศตวรรษที่ 20 เคยกล่าวไว้ว่า(เปิดในแท็บใหม่), “ถ้าฉันตื่นขึ้นหลังจากหลับไปนับพันปี คำถามแรกของฉันคือ ‘ สมมติฐานของรีมันน์ได้รับการพิสูจน์แล้วหรือไม่'”
แล้วค่าคงที่นี้มันเจ๋งตรงไหน? ปรากฎว่าค่าคงที่ของ Apéry ปรากฏขึ้นในสถานที่ที่น่าสนใจทางฟิสิกส์ รวมทั้งในสมการที่ควบคุมสนามแม่เหล็ก ของอิเล็กตรอน และทิศทางของโมเมนตัมเชิงมุม
หมายเลข 1
Ed Letzter นักคณิตศาสตร์จาก Temple University ในฟิลาเดลเฟีย (และเป็นบิดาของ Rafi Letzter อดีตนักเขียนทีม Live Science) มีคำตอบที่ใช้งานได้จริง:
“ฉันคิดว่านี่เป็นคำตอบที่น่าเบื่อ แต่ฉันต้องเลือก 1 เป็นคำตอบที่ฉันชอบ ทั้งในฐานะตัวเลขและในบทบาทที่แตกต่างกันในบริบทที่เป็นนามธรรมมากขึ้น” เขากล่าวกับ WordsSideKick.com
หนึ่งคือตัวเลขเดียวที่ตัวเลขอื่นๆ ทั้งหมดแบ่งออกเป็นจำนวนเต็ม เป็นจำนวนเดียวที่หารด้วยจำนวนเต็มบวกหนึ่งจำนวนเท่านั้น (ตัวมันเองคือ 1) เป็นจำนวนเต็มบวกเดียวที่ไม่ใช่จำนวนเฉพาะหรือแบบประกอบ
ทั้งในคณิตศาสตร์และวิศวกรรม ค่ามักจะแสดงระหว่าง 0 ถึง 1 “หนึ่งร้อยเปอร์เซ็นต์” เป็นเพียงวิธีแฟนซีในการพูดว่า 1 เป็นทั้งหมดและสมบูรณ์
และแน่นอน ตลอดวิทยาศาสตร์ 1 ถูกใช้แทนหน่วยพื้นฐาน โปรตอนตัวเดียวมีประจุ +1 ในตรรกะไบนารี 1 หมายถึงใช่ มันคือเลขอะตอมของธาตุที่เบาที่สุด และมันคือมิติของเส้นตรง
ตัวตนของออยเลอร์
อัตลักษณ์ของออยเลอร์ซึ่งแท้จริงแล้วเป็นสมการคืออัญมณีทางคณิตศาสตร์อย่างแท้จริง อย่างน้อยตามที่ริชาร์ด ไฟน์แมน นักฟิสิกส์ผู้ล่วงลับได้อธิบายไว้ มันยังถูกนำไปเปรียบเทียบกับโคลงของเชคสเปียร์อีกด้วย
โดยสรุป เอกลักษณ์ของออยเลอร์เชื่อมโยงค่าคงที่ทางคณิตศาสตร์จำนวนหนึ่งเข้าด้วยกัน: pi บันทึกธรรมชาติ e และหน่วยจินตภาพ i
“[มัน] เชื่อมโยงค่าคงที่ทั้งสามนี้กับเอกลักษณ์การบวก 0 และเอกลักษณ์การคูณของเลขคณิตเบื้องต้น: e^{i*Pi} + 1 = 0,” Devlin กล่าว
หมายเลข 0
หากเรากำลังพูดถึงความยอดเยี่ยมของ 1 แล้ว ทำไมไม่ลองใส่เลข 0 ที่แปลกกว่าและเจ๋งกว่าเข้าไปอีกล่ะ สำหรับประวัติศาสตร์มนุษย์ที่เป็นลายลักษณ์อักษรส่วนใหญ่ แนวคิดเรื่องศูนย์ไม่ได้มีความสำคัญขนาดนั้น เม็ดดินเหนียวจากยุคบาบิโลนโบราณไม่ได้แยกความแตกต่างระหว่างตัวเลขเช่น 216 และ 2106 ตามที่มหาวิทยาลัยเซนต์แอนดรูในสกอตแลนด์(เปิดในแท็บใหม่).
ชาวกรีกโบราณเริ่มพัฒนาแนวคิดในการใช้ศูนย์เป็นตัวบ่งชี้ตำแหน่งว่างเพื่อแยกแยะตัวเลขที่มีขนาดต่างกัน แต่จนถึงประมาณศตวรรษที่ 7 นักคณิตศาสตร์ชาวอินเดีย เช่น พรหมคุปต์ เริ่มบรรยายแนวคิดสมัยใหม่เกี่ยวกับศูนย์ รายงานก่อนหน้านี้ Brahmagupta เขียนว่าจำนวนใด ๆ ที่คูณด้วยศูนย์เป็นศูนย์ แต่เขาพยายามดิ้นรนกับการหารโดยบอกว่าตัวเลข n หารด้วย 0 ออกมาเป็น n/0 แทนที่จะเป็นคำตอบที่ทันสมัยซึ่งก็คือผลลัพธ์ไม่ได้กำหนดไว้ ( พวกมายายังได้รับแนวคิดเรื่องศูนย์โดยอิสระในปี ค.ศ. 665)
Zero มีประโยชน์อย่างยิ่ง แต่เป็นแนวคิดที่ยุ่งยากมากสำหรับคนจำนวนมากที่จะคาดเดา เรามีตัวอย่าง เช่น ม้า 1 ตัวหรือไก่ 3 ตัว ในชีวิตประจำวันของเรา แต่การใช้ตัวเลขเพื่อแทนความว่างเปล่าถือเป็นการก้าวกระโดดทางความคิดที่ยิ่งใหญ่กว่า “ศูนย์อยู่ในจิตใจ แต่ไม่ใช่ในโลกของประสาทสัมผัส” Robert Kaplan ศาสตราจารย์คณิตศาสตร์ของ Harvard กล่าวกับ Vox ถึงกระนั้น หากไม่มี 0o (และ 1) เราก็ไม่สามารถแสดงรหัสไบนารีดิจิทัลทั้งหมดที่ทำให้โลกร่วมสมัยของเราดำเนินไปได้ (ข้อมูลบนคอมพิวเตอร์แสดงด้วยสตริง 0s และ 1s)
รากที่สองของ2
อาจเป็นตัวเลขที่อันตรายที่สุดเท่าที่เคยมีมา รากที่สองของ 2 อาจนำไปสู่การฆาตกรรมทางคณิตศาสตร์ครั้งแรกในประวัติศาสตร์ นักคณิตศาสตร์ชาวกรีก Hippasus of Metapontum ได้รับการยกย่องว่าเป็นผู้ค้นพบในศตวรรษที่ 5 ก่อนคริสต์ศักราชตามที่มหาวิทยาลัยเคมบริดจ์(เปิดในแท็บใหม่). ขณะทำงานแยกจากกัน กล่าวกันว่าฮิปปาซัสสะดุดกับข้อเท็จจริงที่ว่าสามเหลี่ยมมุมฉากหน้าจั่วที่มีฐานสองด้านยาว 1 หน่วย จะมีด้านตรงข้ามมุมฉากคือ √2 ซึ่งเป็นจำนวนอตรรกยะ
ตามตำนานเล่าว่าคนร่วมสมัยของฮิปปาซัส สมาชิกของลัทธิกึ่งศาสนาที่รู้จักกันในชื่อพีทาโกรัส โยนเขาลงไปในทะเลหลังจากได้ยินเกี่ยวกับการค้นพบครั้งยิ่งใหญ่ของเขา นั่นเป็นเพราะชาวพีทาโกรัสเชื่อว่า “ทั้งหมดเป็นตัวเลข” และจักรวาลมีเพียงจำนวนเต็มและอัตราส่วนเท่านั้น จำนวนอตรรกยะ เช่น √2 (และ pi) ซึ่งไม่สามารถแสดงเป็นอัตราส่วนของจำนวนเต็มและคงอยู่ตลอดไปหลังจากตำแหน่งทศนิยม ถูกมองว่าเป็นสิ่งที่น่ารังเกียจ โฆษณา
ทุกวันนี้ เราสงบลงเล็กน้อยเกี่ยวกับ √2 ซึ่งมักเรียกมันว่าค่าคงที่ของพีทาโกรัส มันเริ่มต้นที่ 1.4142135623 … (และแน่นอนไปตลอดกาล) ) ค่าคงที่ของพีทาโกรัสมีประโยชน์ทุกประเภท นอกจากการพิสูจน์การมีอยู่ของจำนวนอตรรกยะแล้ว องค์การระหว่างประเทศเพื่อการมาตรฐาน (ISO) ยังใช้เพื่อกำหนดขนาดกระดาษ A คำจำกัดความ 216(เปิดในแท็บใหม่)ของกระดาษ A ระบุว่าความยาวของแผ่นหารด้วยความกว้างควรเป็น 1.4142 ซึ่งหมายความว่ากระดาษ A1 ที่แบ่งความกว้างครึ่งหนึ่งจะได้กระดาษ A2 สองแผ่น แบ่งครึ่งกระดาษ A2 อีกครั้ง และมันจะผลิตกระดาษ A3 สองแผ่น เป็นต้น
